Question

已知：直线y=ax+b与抛物线y=ax²-bx+c的一个交点为A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线y=ax²-bx+c的解析式；
（3）判断抛物线y=ax²-bx+c与x轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M，N（点M在点N左边），将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E，轴反射后的像与原像相交于点F，连接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在点P，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可求得；
（2）利用待定系数法即可求得解析式；
（3）利用b²-4ac确定抛物线有没有交点，因为轴反射后的像与原像相交于点F，则F点即为A点，则OF=2，由于△NEP的面积与△NEF的面积相等且同底，所以P点的纵坐标为2或-2，代入y=-x²-2x+2即可求得．

解答：解：（1）∵直线y=ax+b过A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°，
∴OA=OB，
∴当a＞0时，B（-2，0），当a＜0时，B（2，0）；

（2）把A（0，2），B（-2，0）代入直线y=ax+b得；

b=2 0=-2a+b

，
解得：

a=1 b=2

，
把A（0，2），B（2，0）代入直线y=ax+b得

b=2 0=2a+b

，
解得：

a=-1 b=2

，
∵抛物线y=ax²-bx+c过A（0，2），
∴c=2，
故抛物线的解析式为：y=x²-2x+2或y=-x²-2x+2．

（3）存在．
如图，抛物线为y=x²-2x+2时，b²-4ac=4-4×1×2＜0，抛物线与x轴没有交点，
抛物线为y=-x²-2x+2时，b²-4ac=4-4×（-1）×2＞0，抛物线与x轴有两个交点；

∵轴反射后的像与原像相交于点F，则F点即为A点，
∴F（0，2）
∵△NEP的面积与△NEF的面积相等且同底，
∴P点的纵坐标为2或-2，
当y=2时，-x²-2x+2=2，解得：x=-2或x=0（与点F重合，舍去）；
当y=-2时，-x²-2x+2=-2，解得：x=-1+

5

，x=-1-

5

，
故存在满足条件的点P，点P坐标为：（-2，2），（-1+

5

，-2），（-1-

5

，-2）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的交点问题以及三角形面积的求解方法，问题考虑周全是本题的难点．