题目内容
13．如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标；
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[-4，5]，将此函数图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②特征数[0，-1]的抛物线与x轴的交点从左到右依次为A、B，现将此抛物线向右平移，平移后得到的新抛物线与x轴交点从左到右依次为C、D，且BC=$\frac{1}{3}$AD，求平移后所得新函数的特征数．
分析 （1）根据特征数，写出二次函数，利用配方法即可解决问题．
（2）①根据特征数，写出二次函数，再根据平移规律，写出二次函数，即可解决问题．
②由题意二次函数解析式为y=x2-1，可得A（-1，0），B（1，0），设向右平移m个单位，则C（-1+m，0），D（1+m，0），|BC|=|1-（-1+m）|=|2-m|，AD=1+m+1=2+m，由AD=3BC，列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）由题意函数解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴顶点坐标为（1，0）．
（2）①由题意二次函数解析式为y=x2-4x+5，
∴y=（x-2）2+1，
将此函数图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，可得y=（x+2）2-1，
∴y=x2+4x+3，
∴特征数是[4，3]．
②由题意二次函数解析式为y=x2-1，
∴A（-1，0），B（1，0），
设向右平移m个单位，
∴C（-1+m，0），D（1+m，0），
∴|BC|=|1-（-1+m）|=|2-m|，AD=1+m+1=2+m，
∵AD=3BC，
∴2+m=3|2-m|，
∴m=1或4，
∴y=x2-2x或y=x2-8x+15，
∴特征数为[-2，0]或[-8，15]．
点评 本题考查二次函数综合题、配方法、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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