Question

9．如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为AB的中点，点E在边AC上，连接DE，过点D作DG⊥DE交BC于点G，∠EDG平分线DF交BC于F，连EF．求证：∠FED=∠AED．

Answer 1

分析 连接CD，根据ASA证明△AED≌△CGD，得到DE=DG，∠AED=∠FGD，再根据SAS证明△DFE≌△DFG，得到∠FED=∠FGD，即可证明∠FED=∠AED．

解答 证明：连接CD，
∵AC=BC，∠C=90°，点D为AB的中点，
∴AD=CD=BD，∠A=∠DCG=∠ACD=∠B=45°，∠CDA=∠CDB=90°，
∵DG⊥DE，
∴∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCG}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CGD（ASA），
∴DE=DG，∠AED=∠FGD，
∵∠EDG平分线DF交BC于F，
∴∠EDF=∠GDF，
在△DFE和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△DFG（SAS），
∴∠FED=∠FGD，
∴∠FED=∠AED．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质，熟练地掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．