如图1.已知正方形ABCD的边长为1.点E在边BC上.若∠AEF=90°.且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)如图1.若点E是边BC的中点.M是边AB的中点.连接EM.求证:AE=EF．(2)如图2.若点E在射线BC上滑动．①在点E滑动过程中.AE=EF是否一定成立?请说明理由,②在如图所示的直角坐标系中.当点E滑动到某处时.点F恰好落在直线y=-2x+6上.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．
（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．
①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；
②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=-2x+6上，求此时点F的坐标．

分析（1）由条件可证明△AME≌△ECF，可证得结论；
（2）①在AB上截取AM=EC，连接ME，由条件可证明△AME≌△ECF，可证明AE=EF；②设F（a，-2a+6），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出CH、FH，由角平分线的性质可得到关于a的方程，可求得a的值，可求得F的坐标．

解答（1）证明：
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵M、E为中点，
∴AM=EC=BE=BM，且CF平分∠DCB，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立．
证明：图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME，

∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分是角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AME和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
②设F（a，-2a+6），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3，

则CH=a-1，FH=-2a+6
∵CF为角平分线，
∴FH=CH，
∴a-1=-2a+6，解得$a=\frac{7}{3}$，
当$a=\frac{7}{3}$时，-2a+6=-2×$\frac{7}{3}$+6=$\frac{4}{3}$，
∴F点坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在（1）中证明三角形全等是解题的关键，在（2）①中构造三角形全等是关键，在（2）②中根据角平分线的性质得到关于F点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．

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