Question

19．已知如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边AD上任意一点，连BE，以BE为边作正方形BEMN，EM、CD相交于点F，过M作MH⊥CD于H，①若∠ABE=30°，则DE=1；②DF的最大值为$\frac{1}{2}$；③MH=AE；④若H为CF的中点，则tan∠CBN=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，上述说法正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①先根据30°的正切求AE的长，所以由正方形的边长可以求出DE≠1；
②设AE=x，则DE=2-x，根据同角的三角函数列式为：$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{ED}$，得关于x的方程，解出即得DF的二次函数关系式，求最值即可；
③如图1，作辅助线，先证明N和G重合，再证明△BAE≌△NHM可得结论；
④设CN=x，HC=y，根据△NHM∽△MHF，列比例式可求得：x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$y，在直角△BCN中根据正切的定义代入求值．

解答 解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，tan30°=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=AD-AE=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≠1，
所以此选项不正确；
②设AE=x，则DE=2-x，
∵∠BEM=90°，
∴∠AEB+∠MED=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠MED=∠ABE，
∴tan∠ABE=tan∠MED，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{ED}$，
∴$\frac{x}{2}=\frac{DF}{2-x}$，
∴DF=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴DF有最大值，
则DF的最大值是：$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×0-{1}^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{2}$，
所以此选项正确；
③如图1，延长DC，交直线BN于G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCG=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠EBC+∠GBC=90°，
∴∠ABE=∠GBC，
∴△ABE≌△CBG，
∴BE=BG，
∵四边形EBNM是正方形，
∴BE=BN=NM，
∴N和G重合，
∵∠EMN=∠BEM=90°，
∴∠EMH+∠HMN=90°，∠BEA+∠DEM=90°，
∵AD∥HM，
∴∠DEM=∠EMH，
∴∠HMN=∠BEA，
∵∠A=∠NHM=90°，
∴△BAE≌△NHM，
∴AE=MH，
所以此选项正确；
④若H为CF的中点，如图2，
CH=FH，
设CN=x，HC=y，则HM=x，FH=y，BC=HN=x+y，
∵∠FMN=∠NHM=90°，
∴∠HNM+∠NFM=90°，∠HNM+∠NMH=90°，
∴∠NFM=∠NMH，
∵∠NHM=∠FHM=90°，
∴△NHM∽△MHF，
∴$\frac{NH}{MH}=\frac{HM}{HF}$，
∴MH²=NH•HF，
∴x²=y（x+y），
x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$y，
∵x＞0，
∴x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$y，
∴BC=x+y=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$y，
∴tan∠CBN=$\frac{CN}{BC}$=$\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}y}{\frac{3+\sqrt{5}}{2}y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
所以此选项正确；
上述说法正确的是②③④，有3个；
故选C．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等、相似的性质和判定、三角函数以及二次函数的最值问题，在正方形中常利用同角的余角相等证明两个角相等，为全等或相似创造条件．