Question

19．已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a：b=2：$\sqrt{3}$，且2x₁-x₂=2，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有实数根，得出判别式△≥0，再根据a＞0，b＞0，即可得出答案；
（2）利用a与b的比值分别设出a和b，利用根与系数的关系用设出的未知数表示出方程的两个解，代入的2x₁-x₂=2中求得a与b的值即可．

解答 解：（1）∵方程x²+2ax+b²=0有实数根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²，
∵a＞0，b＞0，
∴a≥b；

（2）∵a：b=2：$\sqrt{3}$，
∴设a=2k，b=$\sqrt{3}$k．
解关于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k，
当x₁=-k，x₂=-3k时，由2x₁-x₂=2得k=2，
当x₁=-3k，x₂=-k时，由2x₁-x₂=2得k=-$\frac{2}{5}$（不合题意，舍去），
∴a=4，b=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．