Question

11．已知关于x的方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都小2，则a+b+c的值为-8或0．

Answer 1

分析 设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根．利用根与系数的关系得到与a的关系，进而消去a，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a，b，c的值，相加即可．

解答 解：设方程x²+ax+b=0的两个根为α，β，
∵方程有整数根，
设其中α，β为整数，且α≤β，
则方程x²+cx+a=0的两根为α+2，β+2，
∴α+β=-a，（α+2）（β+2）=a，
两式相加，得αβ+3α+3β+4=0，
即（α+3）（β+3）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α+3=1}\\{β+3=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{α+3=5}\\{β+3=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α=-2}\\{β=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{α=2}\\{β=-2}\end{array}\right.$，
又∵a=-（α+β）=-[（-2）+2]=0，b=αβ=-2×2=-4，c=-[（α+2）+（β+2）]=-[（-2+2）+（2+2）]=-4，
或a=-（α+β）=-[2+（-2）]=0，b=αβ=2×（-2）=-4，c=-[（α+2）+（β+2）]=-[（2-2）+（-2-2）]=4，
∴a=0，b=-4，c=-4；或者a=0，b=-4，c=4，
∴a+b+c=0+（-4）+（-4）=-8或a+b+c=0+（-4）+4=0，
综上所述，a+b+c=-8或0．
故答案是：-8或0．

点评 主要考查一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；消去a后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点．