Question

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合．随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中．
（1）AB中点P经过的路径长$\frac{5}{2}$π．
（2）点C运动的路径长是6．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，确定中点P的运动路径：以O为圆心，以OP为半径的$\frac{1}{4}$圆弧，半径OP=$\frac{1}{2}$AB=5，代入周长公式计算即可；
（2）分为两种情况：
①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′；
分别计算并相加．

解答 解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，P为AB的中点，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=10，
∴OP=5，
∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的$\frac{1}{4}$圆弧，
即AB中点P经过的路径长=$\frac{1}{4}$×2×5π=$\frac{5}{2}$π；
（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，
点C运动的路径长是CC′的长，
∴AC′=OC=8，
∵AC′∥OB，
∴∠AC′O=∠COB，
∴cos∠AC′O=cos∠COB=$\frac{OC}{OB}=\frac{AC′}{OC′}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{8}{OC′}$，
∴OC′=10，
∴CC′=10-8=2；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，
此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，
CC′=OC′-BC=10-6=4，
综上所述，点C运动的路径长是：4+2=6；
故答案为：（1）$\frac{5}{2}π$；  （2）6．

点评 本题考查轨迹问题、直角三角形等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度，并利用了数形结合的思想．