Question

15．AB为⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE，OC．
（1）求证：CE平分∠OCD；
（2）连接AC，点E关于直线AC的对称点为点M，连接EM，分别交⊙O、AC于点H、K，连接CM交⊙O于点N，延长CD交⊙O于点G，连接EG、AM．求证：AH=EG；
（3）在（2）的条件下，取CE中点L，连接OL、HN，BC，OL=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BC=15，CK=16，求线段HN的长．

Answer 1

分析 （1）如图连接OE．由$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，推出OE⊥AB，由CD⊥AB，推出CD∥OE，推出∠E=∠DCE，由OE=OC，推出∠E=∠ECO，推出∠ECD=∠ECO，即可解决问题．
（2）延长CO交⊙O于P，连接AP、AE、OE．首先证明AP∥EK，推出∠PAE=∠AEK，由∠PAE=∠PCE，∠PCE=∠ECG，推出∠AEH=∠CEG，推出$\widehat{AH}$=$\widehat{EG}$，推出AH=EG即可．
（3）连接BC、PA、PE、AE、EB、CH，作PF⊥EM于F，EJ⊥CB交CB的延长线于J．首先证明HN=AP=KF，想办法证明AK=PF=BJ=1，利用勾股定理求出EF=KH=2，由△AKH∽△EKC，得到AK•KC=HK•KE，设HN=AP=KF=x，可得方程1×16=2（x+2），解得x=6，延长即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OE．

∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴OE⊥AB，∵CD⊥AB，
∴CD∥OE，
∴∠E=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠E=∠ECO，
∴∠ECD=∠ECO，
∴EC平分∠OCD．

（2）证明：延长CO交⊙O于P，连接AP、AE、OE．

∵PC是直径，
∴∠CAP=90°，
∵E、M关于AC对称，
∴AC⊥EM，
∴∠CKE=∠CAP=90°，
∴PA∥KE，
∴∠PAE=∠AEK，
∵∠PAE=∠PCE，∠PCE=∠ECG，
∴∠AEH=∠CEG，
∴$\widehat{AH}$=$\widehat{EG}$，
∴AH=EG．

（3）解：连接BC、PA、PE、AE、EB、CH，作PF⊥EM于F，EJ⊥CB交CB的延长线于J．

∵E、M关于AC对称，
∴∠MCA=∠ECA，∵∠HCA=∠PCE，
∴∠ACP=∠HCN，
∴$\widehat{NH}$=$\widehat{AP}$，
∴HN=PA，设AP=HN=x，易知四边形AKFP是矩形，
∴AK=PF，AP=KF=x，
∵AH=PE，AK=PF，
∴Rt△AKH≌Rt△PFE，
∴HK=PE，
∵EC=EC，∠ECK=∠ECJ，∠CKE=∠EJC=90°，
∴△CEK≌△CEJ，
∴CK=CJ=16，EK=EJ，
∵AE=EB，
∴Rt△EKA≌Rt△EJB，
∴AK=BJ=PF=CJ-BC=16-15=1，
∵CO=OP，CL=LE，
∴PE=2OL=$\sqrt{5}$，
在Rt△PFE中，HK=EF=$\sqrt{P{E}^{2}-P{F}^{2}}$=2，
由△AKH∽△EKC，得到AK•KC=HK•KE，
∴1×16=2（x+2），
∴x=6，
∴HN=PA=6．

点评 本题考查圆综合题、轴对称变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，本题比较难，多次应用三角形全等解决问题，属于中考压轴题．