Question

11．如图，直线l₁∥l₂，两直线之间的距离为2，A，B是直线l₂上两点，AB=4，点P直线l₁上一个动点，则∠APB的最大值为90°．

Answer 1

分析 结合已知条件作图如下“以线段AB为直径作圆，圆与直线l₁交于点P，在l₁上任找一点P′（与点P不重合），连接AP′交圆于点C，连接BC”，根据线段AB为直径可得出∠APB=∠ACB=90°，再结合三角形外角的性质即可得出∠APB＞∠AP′B，由此即可得出结论．

解答 解：∵AB=4，直线l₁∥l₂，两直线之间的距离为2，
∴以线段AB为直径作圆，圆与直线l₁交于点P，在l₁上任找一点P′（与点P不重合），连接AP′交圆于点C，连接BC，如图所示．

∵线段AB为直径，
∴∠APB=∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠AP′B+∠CBP′，
∴∠APB=∠ACB＞∠AP′B．
∴当点P在线段AB的垂直平分线上时，∠APB最大，最大值为90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了圆周角以及三角形外角的性质，解题的关键是找出∠APB＞∠AP′B．本题属于中档题，难度不大，但方法不大好找，此处巧妙的借助了作圆，利用圆周角相等，再根据三角形的外角的性质找出结论．