Question

10．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB=3，AD=4，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形AECF为平行四边形．只要证明AE∥CF，AE=CF即可．
（2）因为EF=BD-2BE，所以求出BD以及BE即可解决问题．

解答 证明：（1）∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
又AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴AE∥FC，
易证△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形；               
（2）∵AB=3，AD=4，
在RT△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=5，
由面积法可求得AE=$\frac{12}{5}$，
在RT△ABE中，BE=DF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴EF=BD-2BE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形性质解决问题，求EF时体现了转化的思想，属于中考常考题型．