已知关于x的一元二次方程mx2+x+3=0．(1)求证:该方程有两个实数根,(2)如果抛物线y=mx2+x+3与x轴交于A.B两个整数点.且m为正整数.求此抛物线的表达式,的条件下.抛物线y=mx2+x+3与y轴交于点C.点B关于y轴的对称点为D.设此抛物线在-3≤x≤-$\frac{1}{2}$之间的部分为图象G.如果图象G向右平移n个单位长度后与直线CD有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

已知关于x的一元二次方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤-$\frac{1}{2}$之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

分析（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；
（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m的值，可得抛物线的解析式；
（3）点求出点A，B，C，D的坐标，根据待定系数法求出直线CD的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），根据点在直线上，求出取值范围即可．

解答（1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）²-4×m×3=（3m-1）²，
∵（3m-1）²≥0，
∴△≥0，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：令y=0，那么mx²+（3m+1）x+3=0，
解得：x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；
（3）如图，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∵当y=0时，x₁=-3，x₂=-1，
又∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∵点D与点B关于y轴对称，
∴D（1，0），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CD的表达式为：y=-3x+3，
又∵当x=-$\frac{1}{2}$时，y=$（-\frac{1}{2}）^{2}+4×（-\frac{1}{2}）+3=\frac{5}{4}$，
∴点E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），
当直线y=-3x+3经过点A′（-3+n，0）时，得：-3（-3+n）+3=0，解得：n=4，
当直线y=-3x+3经过点E′（-$\frac{1}{2}$+n，$\frac{5}{4}$），时，得：-3（-$\frac{1}{2}$+n）+3=$\frac{5}{4}$，解得：n=$\frac{13}{12}$，
∴n的取值范围是$\frac{13}{12}$≤n≤4．