Question

已知在平面直角坐标系中，点A，B表示两个大型综合商场，坐标分别为A（2，-5），B（5，1）．x轴，y轴分别表示庆春路和延安路，请在同一个坐标系内画出满足下列条件的点（保留画图痕迹），并求出点C的坐标．
（1）现打算在延安路上建一个地铁出口站C，使得它到两个商场的直线距离最小；
（2）小敏到庆春路上的书店D买书，它到A商场的距离与它到B商场的直线距离之差达到最大．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）线段垂直平分线的性质，可得A点关于y轴的对称点，根据线段的性质，可得线段A′B，根据待定系数法，可得直线A′B的解析式，根据自变量为0，可得答案；
（2）线段垂直平分线的性质，可得B点关于x轴的对称点B′，根据三角形两边之差小于第三边，当A，B′，D三点共线，根据待定系数法，可得直线AB′的解析式，根据函数值为0，可得答案．

解答：解：
（1）C点如图，
作A关于y轴的对称点A′，连结A′B交y轴于点C
A′点的坐标是（-2，-5），B（5，1）
解得A′B直线解析式：y=-

6

7

x-

23

7

．
当x=0时，y=-

23

7

∴点C的坐标为（0，-

23

7

）；
（2）D点如图，
作点B关于x轴的对称点B′，连结AB’延长交x轴于D
∵若A，B′，D三点不共线，根据三角形两边之差小于第三条边可得AD-B′D＜AB′
∴当A，B′，D三点共线时，AD-B′D=AB′，此时AD-B′D有最大值，最大值为AB′的长度，
此时，点D在直线AB′上，
根据题意由A（2，-5），B′（5，-1）代入可得y=

4

3

x-

23

3

，
当y=0时，x=

23

4

，
∴当AD-BD有最大值时，点D的坐标为（

23

4

，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，（1）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，待定系数法求解析式，（2）利用了三角形三边的关系．