Question

如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于H，AD=5

2

，且tan∠EFC=

2

4

，那么AH的长为（　　）

• A、

  10 6

  3

• B、5

  2

• C、10
• D、5

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：根据线段中点的定义可得CE=DE，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AD，再求出BF，然后利用tan∠EFC求出AB，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根据相似三角形对应边成比例求出

AH

FH

，再求解即可．

解答：解：∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，

∠DAE=∠CFE ∠AED=∠FEC CE=DE

，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴CF=AD=5

2

，
∴BF=BC+CF=AD+CF=5

2

+5

2

=10

2

，
∵tan∠EFC=

2

4

，
∴AB=10

2

×

2

4

=5，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

52+(10 2 )2

=15，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴

AH

FH

=

AD

BF

=

5 2

10 2

=

1

2

，
∴AH=

1

1+2

AF=

1

3

×15=5．
故选D．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．