Question

5．已知：如图（1），四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连结AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AGE，延长EG（或GE）交直线BC于F．

（1）求证：DE+BF=EF；∠EAF=45°；
（2）若E为CD延长线上一点，如图（2），则线段DE，BF，EF之间有怎样的关系，∠EAF等于几度？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和轴对称，AB=AG，∠ABF=∠AGE，从而判断出△ABF≌△AGF，即可；
（2）同（1）方法即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠D，
∵△ADE成轴对称的图形△AGE，
∴AD=AG，DE=GE，∠AGE=∠D=90°，∠GAE=∠DAE，
∴AG=AB，∠AGE=∠AGF=∠D=∠BAD=∠ABF=90°，
在△ABF和△AGF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠ABF=∠AGE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
△ABF≌△AGF，
∴BF=GF，∠BAF=∠GAF，
∴DE+BF=GE+GF=EF．
∠EAF=∠GAE+∠GAF=$\frac{1}{2}$∠DAB=45°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠D，
∵△ADE成轴对称的图形△AGE，
∴AD=AG，DE=GE，∠AGE=∠ADE=90°，∠GAE=∠DAE，
∴AG=AB，∠AGE=∠BAD=∠ABF=90°，
在△ABF和△AGF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠ABF=∠AGE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△AGF，
∴BF=GF，∠BAF=∠GAF，
∴BF=GF=GE+EF=DE+EF；
∵∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠GAF+∠DAF=90°，
∵∠GAF=∠EAF+∠GAE，
∴∠EAF+∠GAE+∠DAF=2∠EAF=90°，
∴∠EAF=45°．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，轴对称，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出△ABF≌△AGF．