Question

16．如图，?ABCD 的对角线AC，BD相交于点，且AC=4，BD=$2\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{7}$．试证明四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 由平行四边形的对角线互相平分得到△AOB的两条边OA、OB的长度，则根据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线互相垂直平分，故四边形ABCD是菱形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$．
又∵AB=$\sqrt{7}$，
∴AB²=OA²+OB²=7，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）以及勾股定理的逆定理运用，解题的关键是能够证明AC⊥BD．