Question

4．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是7．

Answer 1

分析 方法1，根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．
方法2，利用相似三角形的性质和三角形的面积相等即可得出结论．

解答 解：方法1，∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=9，AB=12，
∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S_△CDF=7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=7k：9k，
∴DF=7．
故答案为：7．
方法2，如图，

过点A作AM⊥BC，过点D作DN⊥BC，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴$\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{EF}$=$\frac{4}{3}$，
∵S_△ABC=S_△DEC，
∴$\frac{1}{2}$BC×AM=$\frac{1}{2}$EC×DN，
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{3}{4}$，
∵AB∥DE，
∴△ABM∽DEN，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AM}{DN}$，
∴$\frac{12}{DE}=\frac{3}{4}$，
∴DE=16，
∴DF=DE-EF=7，
故答案为：7．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积．