Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知函数，其中为常数．

（1）当时，求函数图像的顶点坐标（用含的代数式表示）；

（2）当y最大值为1时，且，求整数的值；

（3）当直线与函数的图像只有一个公共点时，求的取值范围；

（4）设点在轴上，点在轴上的正半轴上，已知点，以为边做正方形，当函数的图像与正方形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）或；（4）或或

【解析】

（1）把函数配方成顶点式即可求得；

（2）分两类情况：当时, ，当时，，结合，即可算出n的值；

（3）分两类情况：当时，交点即是抛物线的顶点，当时，满足即可；

（4）数形结合的方法，看两个交点在哪些边上，分类讨论，结合点的坐标即可算出n的取值范围．

（1）

所以当时，顶点坐标为

(2) 当时, ;

当时，

且是整数

所以或或

（3）当时, 交点即是抛物线的顶点，，如图①

解得：（舍去），

当时，满足即可，解得如图②

综上得，n的取值范围是或

(4)

当两个交点都在AC上时，如图③，则经过C点（2n，2n），得：；

当一个交点在OA上，一个交点在BC上时，如图④，则顶点在AC之下，即：；

当交点在OB和BC上时，则，且抛物线在B点下方，如图⑥即：或（舍去），

综上可得，n的取值范围是：或或．