Question

12．己知：在矩形纸片ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，点M是AB的中点，点N在DC上，沿MN所在的直线折叠矩形纸片ABCD，点A落在点E处，点D落在F处．
（1）如图1，当点E落在DC上时，连接AN，求证：四边形AMEN是菱形．
（2）在图2中，过点M作直线l⊥AB，交CD于点G，当点E落在直线l上时．
①请画出折叠矩形纸片ABCD后得到的四边形NEFN；
②求MN的长．

Answer 1

分析 （1）利用法则不变性，首先证明EM=EN，推出AM=EN，AM∥EN，推出四边形AMEN是平行四边形，由此即可解决问题．
（2）①画出折叠后的四边形MEFN即可．
②在Rt△MNG中，利用勾股定理计算即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形MNFE是由四边形MNDA翻折得到，
∴AM=ME，∠AMN=∠NME，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMN=∠MNE，
∴∠EMN=∠ENM，
∴EN=ME，
∴AM=EN，AM∥EN，
∴四边形AMENE是平行四边形，
∵MA=ME，
∴四边形AMEN是菱形．

（2）①折叠矩形纸片ABCD后得到的四边形MEFN如图2所示，

②∵四边形MNFE是由四边形MNDA翻折得到，GM⊥AB，
∴∠AMG=90°，∠AMN=∠NMG=45°，
∵AB∥CD，
∴GM⊥CD，
∴∠MGN=90°，
∴∠GNM=∠GMN=45°，
∵∠A=∠ADG=∠AMG=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD=4
∴MN=$\sqrt{2}$MG=$\sqrt{2}$AD═4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用法则不变性解决问题，掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．