Question

7．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的四分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，用x表示出△PCQ的边长，根据面积是8可列方程求解．
（2）假设y秒时四边形APQB的面积等于△ABC的面积的$\frac{1}{4}$，列出方程看看解的情况，可知是否有解．

解答 解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：
$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=8，
x=2或x=4，
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；

（2）不存在．
理由：设y秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的$\frac{1}{4}$，
则△QPC的面积是△ABC的面积的$\frac{3}{4}$，
由题意得：
$\frac{1}{2}$（6-y）•2y=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×6×8
y²-6y+18=0．
△=36-4×18=-36＜0，
方程无解，所以不存在．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况，表示出△PCQ的面积是解题关键．