Question

18．已知△ABC是等边三角形，AB=6，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图所示放置，让等边△ABC向右平移（BC只能在EF上移动）．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板DEF的斜边DF上．
（1）若点C平移到与点F重合，求等边△ABC平移的距离；
（2）在等边△ABC向右平移的过程中，AB，AC与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH交AB于点P，如图2．
①求证：EB=AH；
②若∠HEF=30°，求EH的长；
③判断PG的长度在等边△ABC平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出PG的长；如果变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）就是刚开始时C点与F的距离；
（2）①作EM⊥DF于点M，EN⊥AB于点N，证明△EBN≌△HAG即可；
②此时HEF是等腰三角形，作HP⊥EF于点P，由（1）知，EF=2AB，从而PE=AB=6，EH自然求出；
③由于前面已经证明了△EBN≌△HAG，从而有GH=EN，则△ENP≌△HGP，PG=NP=$\frac{1}{2}$AB．

解答 解：（1）等边△ABC未平移时，如图1，

∵∠ABC=60°，BD⊥BF，
∴∠DBA=30°，
∵∠BDF=60°，
∴BA⊥DF，
∴2AB=BF=BC+CF，
∵AB=BC，
∴CF=AB=6，
即：点C平移到与点F重合时，等边△ABC平移的距离为6；
（2）
①作EM⊥DF于点M，EN⊥AB于点N，如图2，

由（1）知AB⊥DF，
∴MENG是矩形，
∴GN=EM=AB，
∵∠ACB=60°，∠DFE=30°，
∴∠CHF=30°，
∴∠AHG=30°，
∵EN∥DF，
∴∠BEN=30°=∠AHG，
∵AG+GB=AB，
BN+GB=NG=AB，
∴BN=AG，
在△EBN和△HAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEN=∠AHG}\\{∠ENB=∠AHG}\\{AG=BN}\end{array}\right.$，
∴△EBN≌△HAG（AAS），
∴EB=AH；
②如图3，作HP⊥EF于点P，

∵∠HEF=30°=∠HFE，
∴PE=PF，
由（1）知EF=2AB=12，
∴PE=6，
∴PH=$2\sqrt{3}$，
∴EH=4$\sqrt{3}$；
③不变．如图2，
∵△EBN≌△HAG，
∴GH=NE，
在△ENP和△HGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENP=∠HGP}\\{∠EPN=∠HPG}\\{EN=HG}\end{array}\right.$，
∴△ENP≌△HGP（AAS），
∴GP=NP=$\frac{1}{2}$NG=$\frac{1}{2}AB$=3．

点评 本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，有一定难度．清楚AB等于点E到DF的距离且在平移过程中始终与DF垂直是作出辅助线的突破口和关键．