如图.点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点.连接AE.过点C作CF⊥AE于F.连接BF．(1)如图1.当点E在CB的延长线上.且AC=EC时.求证:BF=$\frac{1}{2}AE$,(2)如图2.当点E在线段BC上.且AE平分∠BAC时.求证:AB+BE=AC,(3)如图3.当点E继续往右运动到BC中点时.过点D作DH⊥AE于H.连接BH．求证:∠BHF=45� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=$\frac{1}{2}AE$；
（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；
（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．

分析（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可证得结论；
（2）作EG⊥AC于G，根据角平分线的性质得出BE=EG，进而通过RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后证得△EGC是等腰直角三角形，从而证得EG=GC，即可证得AB+BE=AC；
（3）设正方形的边长为1，则AB=AD=1，BE=EC=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理求得AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，然后通过证得△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，对应边成比例证得CF=AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，然后根据SAS证得△ABH≌△CBF，证得BH=BF，∠ABH=∠CBF，从而证得△HBF是等腰直角三角形，从而证得∠BHF=45°．

解答（1）证明：如图1，∵AC=EC，CF⊥AE，
∴AF=EF，
∴BF是RT△ABE的斜边的中线，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE；
（2）如图2，作EG⊥AC于G，
∵AE平分∠BAC，AB⊥BE，
∴BE=EG，
在RT△ABE和RT△AGE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=GE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
∴AG=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°，
∴∠GEC=∠ACB=45°，
∴EG=GC，
∴AB+BE=AG+GC，
即AB+BE=AC；
（3）如图3，设正方形的边长为1，则AB=AD=1，
∵点E是BC中点，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，
∴△AEB∽△CEF，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{CF}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠AEB，
∵∠AHD=∠BEA=90°，
∴△ADH∽△EAB，
∴$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AH}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CF=AH，
在△ABH和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，
∴∠HBF=90°，
∴△HBF是等腰直角三角形，
∴∠BHF=45°．