Question

12．已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O交于点D．
（1）如图①，若AP=AC，求∠B的大小；
（2）如图②，若AP∥BC，∠P=42°，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （1）如图①，连接OA、AD．由等腰三角形的性质可知∠P=∠ACP，然后由切线的性质可证明∠PAO=90°，于是得到∠P+∠POA=90°，然后依据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质可证明∠AOP=2∠ACP，从而可求得∠ACP的度数，然后可求得∠ADC的度数，最后依据圆周角定理可求得∠B的度数；
（2）如图，连接BD．由直径所对的圆周角等于90°可求得∠DBC=90°，然后依据平行线的性质可求得∠PCB的度数，于是可得到∠CDB的度数，最后依据圆周角定理可求得∠BAC的度数．

解答 解：（1）如图①，连接OA、AD．

∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP．
∵PA与⊙O与相切，
∴∠PAO=90°．
∴∠P+∠POA=90°．
∵OA=0C，
∴∠ACO=∠CAO．
∴∠AOP=2∠ACO．
∵∠P+∠POA=90°，
∴∠ACP+2∠ACP=90°．
∴∠ACP=30°．
∴∠B=2∠ACP=60°．
（2）如图，连接BD．

∵DC为⊙O的直径，
∴∠DBC=90°．
∴∠CDB+∠DCB=90°．
∵AP∥BC，
∴∠PCB=∠P=42°．
∴∠CDB=90°-42°=48°．
∴∠BAC=∠BDC=48°．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．