Question

13．如图①点D、E分别是AB、AC的中点．
（1）△ADE的面积与△ABC的面积存在的数量关系是S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC．
（2）连接BE，试说明（1）的结论的正确性．
（3）请你用一句话来总结下第一个结论：三角形的中位线把三角形分成的三角形与原三角形的面积比是1：4
（4）请直接应用上面的结论，解决下面的问题：
如图②，已知点D，E，F和点G，H，M分别是△ABC边AB和AC上的点，且AD=DE=EF=FB，AG=GH=HM=MC，若四边形DEHG的面积是9cm²，求△ABC的面积？（直接写出结果，不用说明）．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可；
（2）利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可；
（3）有（1）（2）直接总结出结论；
（4）由前面的结论直接进行计算即可．

解答 解：（1）结论：S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
故答案为：S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
（2）如图①，连接BE，

∵点E是AC中点，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵点D是AB中点，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
（3）结论：三角形的中位线把三角形分成的三角形与原三角形的面积比是1：4，
故答案为：三角形的中位线把三角形分成的三角形与原三角形的面积比是1：4；
（4）∵AD=DE，AG=GH
∴由（1）的结论得，S_△ADG=$\frac{1}{4}$S_△AEH，
∵S_△AEH=S_△ADG+S_{四边形DEHG}，
∴S_△AEH=$\frac{4}{3}$S_{四边形DEHG}=$\frac{4}{3}$×9=12，
∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HM=MC，
∴AE=EB，AH=HC，
∴S_△AEH=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△ABC=4S_△AEH=4×12=48，
∴△ABC的面积为48cm²．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的性质，比例的基本性质，解本题的关键是用比例的基本性质进行等式变形．