Question

18．已知反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，-2）
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y₁＞y₂时自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，确定出k的值，从而得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值，从而得到B的坐标，由A和B都在一次函数图象上，故把A和B都代入到一次函数解析式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，从而确定出一次函数解析式；
（2）根据图象结合交点坐标即可求得；
（3）由点C与点A关于x轴对称可得AC，AC边上的高为A，B两点横坐标绝对值的和，代入三角形的面积公式即可．

解答 解：（1）∵函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点A（1，4），即4=$\frac{k}{1}$，∴k=4，即y₁=$\frac{4}{x}$，
又∵点B（m，-2）在y₁=$\frac{4}{x}$上，
∴m=-2，
∴B（-2，-2），
又∵一次函数y₂=ax+b过A、B两点，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=-2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴y₂=2x+2，
综上可得y₁=$\frac{4}{x}$，y₂=2x+2；
（2）要使y₁＞y₂，即函数y₁的图象总在函数y₂的图象上方，
∴0＜x＜1；
（3）过B作BD⊥AC于D，由图形及题意可得：AC=4+4=8，BD=|-2|+1=3，
∴s_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×3=12．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．