Question

15．如图，菱形ABCD的边长为6，BD=6，E、F分别是边AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=6．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的周长为m，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据菱形对角线平分且垂直的性质，求得BD；
（2）先证明△OCE≌△ODE，得DE=DF，∠ADE=∠BDF，从而得到∴△DEF是等边三角形；
（3）先确定条件，即当DE⊥AB时，DE最短，此时△DEF的周长最短，当E点与A点或B点重合时，BE最长，分别求出m的值即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=DA=6，
∵BD=6，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∵AE+CF=6，AE+DE=6，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=FC}\\{BD=BC}\\{∠BDE=∠BCF=60°}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CBF．

（2）结论：△BEF是等边三角形．
理由：由（1）可知，BE=BF，∠EBD=∠FBC，
∵∠DBF+FBC=60°，
∴∠EBD+∠DBF=60°，
∴∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形．

（3）当BE⊥AD时，BE最短，此时BE=3$\sqrt{3}$，m=3BE=9$\sqrt{3}$，
当E点与A点或B点重合时，BE最长，此时BE=6，m=3BE=18，
∴m的取值范围为：9$\sqrt{3}$≤m≤18．

点评 本题是菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．