Question

9．如图：等腰三角形ABC中，∠ABC=20°，将△ABC沿BC向下翻折得到△A′BC．已知D为线段BC上一点．连接AD，并延长AD交A′B于点F，若∠BAD=∠ABC，BF=3，CD=5，那么△ACD的面积为$\frac{15}{4}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先过点C作CE⊥AD的延长线于点E，构造Rt△ACE，根据三角形外角性质求得∠CAE=60°，再设AC=x，BD=AD=y，根据△ACD∽△FBD，得出$\frac{BF}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，即$\frac{3}{y}$=$\frac{x}{5}$，求得xy=15，最后根据S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AD×CE=$\frac{1}{2}$×AD×ACsin60°进行计算即可．

解答 解：如图所示，过点C作CE⊥AD的延长线于点E，则∠E=90°，
∵∠BAD=∠ABC=20°，AB=AC，
∴∠ACB=20°，∠ADC=40°，BD=AD，
∴∠CAE=60°，
设AC=x，BD=AD=y，
∵∠FBD=∠ABD=∠ACD=20°，
∴BF∥AC，
∴△ACD∽△FBD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，即$\frac{3}{y}$=$\frac{x}{5}$，
∴xy=15，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AD×CE=$\frac{1}{2}$×AD×ACsin60°=$\frac{1}{2}$xy×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×15×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15}{4}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{15}{4}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角性质以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造含30°角的直角三角形，解题时注意运用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行求解．