Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点 E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（　　）

• A． 2
• B． π
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$π

Answer 1

分析 由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．

解答 解：如图，

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ADE=∠CGE=90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB=4，AB=$\sqrt{2}$AC，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵DA=DC，OA=OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴点G的运动轨迹的长为$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故选D．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型．