Question

17．已知抛物线y=x²-2x+c与x轴交于A（-1，0），B两点，交y轴于点C，E（-2，n），F两点在抛物线上．
（1）若∠EAF=90°，求点F的坐标；
（2）若△ACF的一个角的平分线在坐标轴上，求点F的坐标；
（3）若△CEF的面积为5，直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得c，然后代入E（-2，n）即可求得E的坐标，作EM⊥x轴于M，作FN⊥x轴于N，设F（m，m²-2m-3），求得△AEM∽△FAN，根据相似三角形的性质得出$\frac{5}{1+m}$=$\frac{1}{{m}^{2}-2m-3}$，求得m的值，即可求得F的坐标；
（2）由题意可知：∠CAO=∠FOB，通过△AOC∽△ANF，得出$\frac{1}{1+m}$=$\frac{3}{{m}^{2}-2m-3}$，求得m的值，即可求得F的坐标；
（3）设F（m，m²-2m-3），直线EF的解析式为y=kx+b，代入E、F的坐标，求得b=$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$，然后分两个情况，根据△CEF的面积等于两个三角形面积的和列出关于m的方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2x+c与x轴交于A（-1，0），B两点，
∴1+2+c=0，
解得c=-3，
∴y=x²-2x-3，
∴C（0，-3），
∵E（-2，n），F两点在抛物线上．
∴E（-2，5），
作EM⊥x轴于M，作FN⊥x轴于N，设F（m，m²-2m-3），
∵∠EAF=90°，
∴∠EAM+∠FAN=90°，
∴∠AEM=∠FAN，
∴△AEM∽△FAN，
∴$\frac{EM}{AN}$=$\frac{AM}{FN}$，即$\frac{5}{1+m}$=$\frac{1}{{m}^{2}-2m-3}$，
解得m₁=$\frac{16}{5}$，m₂=-1（舍去），
∴F（$\frac{16}{5}$，$\frac{21}{25}$）；
（2）由题意可知：∠CAO=∠FOB，如图1，
∵∠AOC=∠ANF=90°，
∴△AOC∽△ANF，
∴$\frac{OA}{AN}$=$\frac{OC}{NF}$，即$\frac{1}{1+m}$=$\frac{3}{{m}^{2}-2m-3}$，
解得m₁=6，m₂=-1（舍去）
∴F（6，21）；
（3）设F（m，m²-2m-3），
∵E（-2，5），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
代入F（m，m²-2m-3），E（-2，5）得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{mk+b={m}^{2}-2m-3}\end{array}\right.$
解得b=$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$，
当b＞o时，则$\frac{1}{2}$（$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$+3）（m+2）=5，
解得m=-1+$\sqrt{11}$或m=-1-$\sqrt{11}$；
∴F（-1+$\sqrt{11}$，11-4$\sqrt{11}$）或（-1-$\sqrt{11}$，11+4$\sqrt{11}$）；
当b＜o时，则$\frac{1}{2}$（3-$\frac{2{m}^{2}+m-6}{m+2}$）（m+2）=5，
解得m=-2或m=3；
∴F（-2，5）或（3，0）；
故若△CEF的面积为5，点F的坐标为F（-1+$\sqrt{11}$，11-4$\sqrt{11}$）或（-1-$\sqrt{11}$，11+4$\sqrt{11}$）或F（-2，5）或（3，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形相似的判定和性质以及三角形面积等，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．