Question

14．如图，两个正比例函数y=k₁x（k₁＞0），y=k₂x（k₂＞0）的图象与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象在第一象限分别相交于A、B两点．已知k₁≠k₂，OA=OB，则k₁k₂的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 $\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}+{k}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}+{k}_{2}}$，两边平分得$\frac{1}{{k}_{1}}$+k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$+k₂，整理后得（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，根据k₁≠k₂，则k₁k₂-1=0，即可求得．

解答 解：∵正比例函数y=k₁x（k₁＞0）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象在第一象限相交于A，
∴k₁x=$\frac{1}{x}$，解得x=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将x=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$带入y=k₁x得y=$\sqrt{{k}_{1}}$，
故A点的坐标为（$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$，$\sqrt{{k}_{1}}$）同理则B点坐标为（$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}}$，$\sqrt{{k}_{2}}$），
又∵OA=OB，
∴$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}+{k}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}+{k}_{2}}$，两边平分得$\frac{1}{{k}_{1}}$+k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$+k₂，
整理后得（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，
∵k₁≠k₂，
所以k₁k₂-1=0，即k₁k₂=1．
故选A．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是运用好OA=OB这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会．