Question

9．如图1，有一组平行线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别在l₁、l₂、l₃、l₄上，过点D作DE⊥l₁于点E．已知相邻两条平行线之间的距离为2．
（1）求AE及正方形ABCD的边长；
（2）如图2，延长AD交l₄于点G，求CG的长度．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出△FAB≌△EDA（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；
（2）如图2，过点D作DH⊥CG于点H，利用勾股定理求得DH的长度，然后由射影定理来求CG的长度．

解答 解：（1）如图1，过B点作BF⊥l₁，垂足为F，
∵∠FAB+∠EAD=90°，∠FAB+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△FAB与△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠AED}\\{∠FBA=∠EAD}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△EDA（AAS），
∴AE=BF=2，ED=4，
∴AD=2$\sqrt{5}$；

（2）如图2，过点D作DH⊥CG于点H，
∵CD=AD=2$\sqrt{5}$，DH=2，
∴CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4，
∵CD²=CH•CG，
∴20=4CG，则CG=5．

点评 此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．