Question

5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AB上一动点，点N是对角线AC上一动点，则MN+BN的最小值为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，连接AB′交DC于P，连接BM，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，运用勾股定理求出PA的长，然后由cos∠B′AM=cos∠APD，求出AM的长．

解答 解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，
连接AB′交DC于P，连接BN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，
∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，则PC=x，PD=8-x．
在Rt△ADP中，∵PA²=PD²+AD²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∵cos∠B′AM=cos∠APD，
∴AM：AB′=DP：AP，
∴AM：4=1.5：2.5，
∴AM=$\frac{12}{5}$，
∴B′M=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴MN+BN的最小值=$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题主要考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点M、N的位置是解答此题的关键．