Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，3)，且对称轴方程为．

（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）(3,0)；（2）y=-x2+2x+3；（3）存在；符合条件的点P坐标为或(2,3)；（4）M(2,3)

【解析】

（1）根据抛物线与x轴的交点和对称轴方程即可得出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为；

(2)根据A、C、B的坐标运用待定系数法即可求出求抛物线的解析式；

(3)分以CD为底边和以CD为一腰两种情况分类讨论，即可得出△PDC是等腰三角形符合条件的点P的坐标；

(4)根据勾股定理∠BCD=90°，再由抛物线对称性可知点坐标M为(2,3).

（1）∵抛物线与x轴交于点A(-1,0)，对称轴方程为x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0).

(2)∵抛物线与y轴交于点C(0,3)

设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a不等于0)，根据题意，得

a-b+3=0，9a+3b+3=0

解得a=-1,b=2，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

(3)存在；

由y=-x2+2x+3得，D点坐标为(1,4),对称轴为x=1

若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理得

x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2

即y=4-x

又点P(x,y)在抛物线上，

∴4-x=-x2+2x+3即x2-3x+1=0

解得

(舍去)

∴

∴y=4-x=

即点P坐标为；

若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,

由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2,3)

∴符合条件的点P坐标为或(2,3)；

(4)由B(3,0)，C(0,3)，D(1,4)，

根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=

∴CD2+CB2=BD2=20

∴∠BCD=90°

设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F，如图所示：

在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，

∴∠CDF=45°

由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为(2,3)

∴DM//BC

∴四边形BCDM为直角梯形

由∠BCD=90°及题意可知以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在.