Question

（1）已知：如图1，直线AC∥BD，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？并加以证明；
（3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是

 

（只写结果，不要证明）．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过P作PM∥AC，根据平行线的性质得出∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，即可得出答案；
（2）过P作PM∥AC，根据平行线的性质得出∠1+∠PAC=180°，∠2+∠PBD=180°，相加即可；
（3）过P作PM∥AC，根据平行线的性质得出∠MPA=∠PAC，∠MPB=∠PBD，即可得出答案．

解答：（1）证明：
如图1，过P作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥BD∥PM，
∴∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）∠APB+∠PBD+∠PAC=360°，
证明：如图2，
过P作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥BD∥PM，
∴∠1+∠PAC=180°，∠2+∠PBD=180°，
∴∠1+∠PAC+∠2+∠PBD=360°，
即∠APB+∠PBD+∠PAC=360°；

（3）∠APB=∠PBD-∠PAC，

证明：过P作PM∥AC，如图3，
∵AC∥BD，
∴AC∥BD∥PM，
∴∠MPA=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠APB=∠MPB-∠MPA=∠PBD-∠PAC，
故答案为：∠APB=∠PBD-∠PAC．

点评：本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．