Question

5．如图，将半径为3cm，圆心角为60°的扇形纸片．AOB在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长4πcm（结果保留π）．

Answer 1

分析 观察顶点O经过的路线，可以看出顶点O经过的路线分为三段，分别求出三段的长，再求出它的总和即是顶点O经过的路线总长．

解答 解：顶点O经过的路线可以分为三段，
第一段：当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°．
此时点O经过了以O为圆心，以3为半径的圆的周长的$\frac{1}{4}$，即经过了$\frac{1}{4}$×2π×3=$\frac{3}{2}π$；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，
所以O与转动点的连线始终⊥直线l，
所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长=BA’=AB的弧长=$\frac{60×π×3}{180}$=π；
第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°，
此时点O经过了以O为圆心，以3为半径的圆的周长的$\frac{1}{4}$，即经过了$\frac{1}{4}$×2π×3=$\frac{3}{2}π$；
所以，O点经过的路线总长S=$\frac{3}{2}π$+π+$\frac{3}{2}π$=4π．
故答案为4π．

点评 本题考查了圆的周长公式、弧长公式．能够看懂图，知道点O经过的三段是解决本题的关键．弧长公式=$\frac{nπr}{180}$．