Question

20．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与一次函数y=-x+4分别交y轴、x轴于A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设P（x，y）是抛物线在第一象限内的一个动点，过点P作直线PH⊥x轴于点H，交直线AB于点M．
①求当x取何值时，PM有最大值？最大值是多少？
②当PM取最大值时，以A、P、M、N为顶点构造平行四边形，求第四个顶点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A、B的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）①可利用x表示出点M的坐标，构建二次函数即可解决问题．②画出图形，满足条件的点N有三个．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x+4分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A（0，4），B（4，0），
把A（0，4），B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c可得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（2）①如图1中，设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），则M（x，-x+4）．

∴PM=-$\frac{1}{2}$x²+m+4-（-x+4）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=2时，pM的值最大，最大值为2．

②由①可知P（2，4），M（2，2），

当以A、P、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，N₁（0，6），N₂（4，2），N₃（0，2）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，注意一题多解，不能漏解．属于中考常考题型．