Question

已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和点B关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,根的判别式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：存在，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A，B，C代入求出a，b，c的值，确定出抛物线解析式，得出对称轴，由D与B关于对称轴对称求出D坐标，代入表示出m，进而求出过D的解析式，联立后消去y得到关于x的一元二次方程，令根的判别式等于0求出k的值，即可得出满足题意的解析式．

解答：解：存在，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C坐标代入得：

a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7

，
解得：

a=2 b=-3 c=5

，
∴抛物线解析式为y=2x²-3x+5，对称轴为直线x=

3

4

，
∵点D与B关于对称轴对称，
∴D（

1

2

，4），
设过点D的直线为y=kx+m，把D坐标代入得：

1

2

k+m=4，即m=4-

1

2

k，
∴过D的解析式为y=kx+4-

1

2

k，
联立y=2x²-3x+5得：2x²-3x+5=kx+4-

1

2

k，
整理得：2x²-（3+k）x+

1

2

k+1=0，
令△=0，得：（3+k）²-8（

1

2

k+1）=0，
解得：k=-1，
则符合题意的解析式为y=-x+

9

2

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．