Question

如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D．问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？

Answer 1

考点：等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：△AED的周长与四边形EBCD的周长相等．由于DE是△AED与四边形EBCD的公共边，所以只需证明AD+AE=BE+BC+CD．

解答：解：△AED的周长与四边形EBCD的周长相等．理由如下：
在等边△ABC中，∠B=∠C=60°，
∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，
∴∠BPE=∠CPD=30°．
不妨设等边△ABC的边长为1，BE=x，CD=y，那么BP=2x，PC=2y，
∵2x+2y=1，
∴x+y=

1

2

，
∵AE=1-x，AD=1-y，
∴AE+AD=2-（x+y）=

3

2

，
又∵BE+CD+BC=（x+y）+1=

3

2

，
∴AD+AE=BE+BC+CD，
∴AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE，
即△AED的周长与四边形EBCD的周长相等．

点评：本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形、四边形的周长，难度适中．设出辅助未知数，运用整体思想是解题的关键．