Question

如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求D点的坐标；
（2）求一次函数及二次函数的解析式；
（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数与不等式（组）,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的性质

专题：

分析：（1）根据函数图象求出对称轴，再根据二次函数的对称性写出点D的坐标即可；
（2）分别利用待定系数法求函数解析式解答；
（3）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出即可；
（4）根据图象写出一次函数图象在二次函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答：解：（1）由图可知，二次函数图象的对称轴为直线x=-1，
∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D的坐标为（-2，3）；

（2）设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=0 -2k+b=3

，
解得

k=-1 b=1

，
所以，直线BD的解析式为y=-x+1；
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
则

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
所以，二次函数的解析式为y=-x²-2x+3；

（3）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4），
对称轴为直线x=-1；

（4）由图可知，x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数的值．

点评：本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，准确识图得到函数图象经过的点的坐标是解题的关键．