Question

15．如图，某公园的一角有一块草坪（阴影部分），实线部分是沿草坪外围的一条小路，小路由两条相等的线段AC、BD和圆弧CD组成，其中AC、BD分别与圆弧CD相切于点C、D．经过测量，线段CD与半径OD都为60米，则这条小路的长度为120$\sqrt{3}$+2π米．

Answer 1

分析 连接OC，先根据垂径定理得出DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$OD，故∠DOE=30°，∠COD=∠DOB=60°，再由弧长公式求出$\widehat{CD}$的长，根据锐角三角函数的定义得出BD的长，进而可得出结论．

解答 解：∵CD=OD=60米，OE⊥CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠DOE=30°．
∴∠COD=∠DOB=60°，
∴$\widehat{CD}$=$\frac{60π×60}{180}$=2π（米）．
∵AC、BD分别与圆弧CD相切于点C、D，
∴OD⊥BD，
∴BD=OD•tan60°=60×$\sqrt{3}$=60$\sqrt{3}$（米），
∴这条小路的长度=BD+AC+$\widehat{CD}$=60$\sqrt{3}$+60$\sqrt{3}$+2π=（120$\sqrt{3}$+2π）（米）．
故答案为：120$\sqrt{3}$+2π．

点评 本题考查的是垂径定理的应用，熟知弧长公式、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．