如图.在平面直角坐标系中.双曲线y=$\frac{1}{x}$与一次函数y=kx+b分别交于点A与点B.直线与y轴交于点C.把直线AB绕着点C旋转一定的角度后.得到一条新直线．若新直线与双曲线y=-$\frac{1}{x}$相交于点E.F.并使得双曲线y=$\frac{1}{x}$.y=-$\frac{1}{x}$.连线y=kx+b以及新直线构成的图形能关于某条坐标轴对称.如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=$\frac{1}{x}$与一次函数y=kx+b（k＞0）分别交于点A与点B，直线与y轴交于点C，把直线AB绕着点C旋转一定的角度后，得到一条新直线．若新直线与双曲线y=-$\frac{1}{x}$相交于点E、F，并使得双曲线y=$\frac{1}{x}$，y=-$\frac{1}{x}$，连线y=kx+b以及新直线构成的图形能关于某条坐标轴对称，如果点A的横坐标为1，则当k为多少时，点A、点E、点B、点F构成的四边形的面积最小．最小值是多少？

分析将A横坐标代入反比例y=$\frac{1}{x}$中，求出y的值确定出A的纵坐标，将A坐标代入y=kx+b中表示出b，得到一次函数解析式，与反比例解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解表示出B坐标，由双曲线y=$\frac{1}{x}$与y=-$\frac{1}{x}$与直线y=kx+b以及新直线的对称性可得：点A与点E关于y轴对称，点B与点F关于y轴对称，表示出E与F坐标，进而确定出AE与BF，且AE与BF的距离为k+1，利用梯形的面积公式表示出梯形AEBF的面积即可．

解答解：∵x_A=1，A点在y=$\frac{1}{x}$上，
∴y_A=1，
把点A（1，1）代入y=kx+b中得：1=k+b，
∴b=1-k，
∴y=kx+（1-k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=kx+（1-k）}\end{array}\right.$，消去y得：$\frac{1}{x}$=kx+（1-k），
整理得：kx²+（1-k）x-1=0，
∴x₁=1，x₂=-$\frac{1}{k}$，
∴点B的坐标为（-$\frac{1}{k}$，-k），
由双曲线y=$\frac{1}{x}$与y=-$\frac{1}{x}$与直线y=kx+b以及新直线的对称性可得：
点A与点E关于y轴对称，点B与点F关于y轴对称，
∴E（-1，1）、F（$\frac{1}{k}$，-k），
∴AE=2，BF=$\frac{2}{k}$，AE与BF的距离为k+1，
∴S_梯形AEBF=$\frac{2+\frac{2}{k}}{2}$（k+1）=（1+$\frac{1}{k}$）（k+1）=k+$\frac{1}{k}$+2，
∵k＞0∴当k=1时，梯形S_AEBF有最小值4．

点评此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，坐标与图形性质，以及对称的性质，由双曲线y=$\frac{1}{x}$与y=-$\frac{1}{x}$与直线y=kx+b以及新直线的对称性可得：点A与点E关于y轴对称，点B与点F关于y轴对称是解本题的关键．