Question

14．已知如图，点C是线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形．
（1）求证：AN=BM（如图1）．
（2）连接DE，证明：△CDE是等边三角形（如图2）．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质证明△ACN≌△MCB（SAS），根据全等三角形的对应边相等得到AN=BM；
（2）由△ACN≌△MCB，得到∠NAC=∠BMC，求出∠MCE=60°，证明△ACE≌MCE（ASA），得到CD=CE，所以△CDE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形）．

解答 解：（1）∵△ACM、△BCN是等边三角形
∴AC=MC，BC=NC
∠ACM=∠BCN=60°
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN
即∠ACN=∠MCB，
在△ACN与△MCB中$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）由（1）得：△ACN≌△MCB
∴∠NAC=∠BMC
又∵∠ACM=∠BCN=60°
∴∠MCE=60°
在△ACD与△MCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠BMC}\\{AC=MC}\\{∠ACD=∠MCE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌MCE（ASA），
∴CD=CE，
又∵∠MCE=60° 即∠DCE=60°
∴△CDE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形）．

点评 本题考查等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．