Question

3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin（A+B）=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，ac=2$\sqrt{3}$，求sinA和边c的值．

Answer 1

分析 ①利用两角和与差的正弦函数公式和基本关系式，解方程即可；②利用正弦定理即可得到结论．

解答 解：①∵△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin（A+B）=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，ac=2$\sqrt{3}$，
∴sinA+$\sqrt{2}$cosA=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵sin²A+cos²A=1，
∴27sin²A-6$\sqrt{2}$sinA-16=0，
解得：sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，或sin A=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$（不合题意，舍去），
②由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$∵
sin（A+B）=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
∴a=2$\sqrt{3}$c，
∵ac=2$\sqrt{3}$，
∴c=1．

点评 本题考查了解三角形，三角函数，两角和与差的正弦函数，同角的三角函数的关系，正弦定理，熟练掌握各公式是解题的关键．