Question

12．如图，在直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，且AB、BC的长分别是方程x²-10x+m=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）过点C作CE⊥AC于点C，射线CE上有一点M（6，2），求直线AC的解析式；
（3）在（2）的条件下．点P在直线CE或第一象限内，点Q在坐标平面内．使以A、C、P、Q为顶点的四边形为正方形，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意得出AB=BC，说明方程x²-10x+m=0有两个相等的实数根，利用根的判别式求得m的数值即可；
（2）因为△ABC为等腰直角三角形，所以设直线y_AC=-x+b，CE⊥AC，直线y_CE=x+k，代入点M（6，2），得出直线CE，求得点C坐标，代入求得直线AC解析式；
（3）利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质，以及轴对称的性质可知：对角线CQ是的长度就是点Q的纵坐标，横坐标是点C的横坐标，由此得出答案即可．

解答 解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵且AB、BC的长分别是方程x²-10x+m=0的两个根，
∴△=100-4m=0，
解得m=25；
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴设直线y_AC=-x+b，
∵CE⊥AC，
∴设直线y_CE=x+k，代入点M（6，2），
解得：k=-4，
y_CE=x-4，则点C为（4，0），
代入y_AC=-x+b，b=4，
∴直线AC的解析式y_AC=-x+4；
（3）如图，

∵AB、BC的长分别是方程x²-10x+25=0的两个根，
∴AB=BC=5，
∴点Q的纵坐标是5×2=10，
∵C点的坐标为（4，0）
∴点Q（4，10）．

点评 本题考查的是一次函数的综合运用，综合运用等腰直角三角形的性质，正方形的性质，一元二次方程的有关知识，以及利用待定系数法求函数解析式解决问题．