Question

1．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAC＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形；
（2）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转△AC′D，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；
（3）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D′，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移的方法，并写出你发现的结论（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质结合菱形的性质，得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案；
（2）利用旋转的性质结合菱形的性质，得出四边形BCC′D是平行四边形，进而得出四边形BCC′D是矩形；
（3）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．

解答 解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，
∴AC′∥EC，AC∥C′E，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∴四边形ACEC′是菱形；
故答案为：菱形；

（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，
由旋转得：AC′=AC，
∴∠CAE=∠C′AE=$\frac{1}{2}$α=∠BAC，AE⊥CC'，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC，
同理可得：AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
∴∠BCC′=90°，
又∵BC=DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
∵∠BCC′=90°，
∴四边形BCC′D是矩形；

（3）如图4，将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为$\frac{1}{2}$AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，则四边形BCD'A'是平行四边形．答案不唯一．
理由：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，
∴四边形A′BCD′是平行四边形．

点评 此题属于四边形综合题，主要考查了几何变换、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法等知识，正确作出辅助线，运用等腰三角形的性质是解题关键．解题时注意：在旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．