Question

13．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．
（1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积．
（2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB²+CD²=AD²+BC²．你认为他的发现正确吗？试说明理由．
（3）应用：
①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．
②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为$\frac{1}{2}AO•BD$+$\frac{1}{2}CO•BD$的和；
（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB²、CD²、AD²、BC²；
（3）①过点P作PD⊥AC于点D，构造△PAD∽△BAC后，利用BP²+CQ²=PQ²+BC²列出关于t的方程；
②连接BE、CG、BG、CE，证明四边形BCGE是垂直四边形，然后利用其性质“一组对边的平方和等于另一组对边的平方和”，即可得出EG与BC的数量关系．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
∴AC⊥BD，
∴△ABD的面积为：$\frac{1}{2}AO•BD$，
△CBD的面积为：$\frac{1}{2}CO•BD$，
∴四边形ABCD的面积：$\frac{1}{2}AO•BD$+$\frac{1}{2}CO•BD$
=$\frac{1}{2}$BD（AO+CO）
=$\frac{1}{2}$AC•BD
=$\frac{1}{2}$×8×7
=28；

（2）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
∴AC⊥BD．
由勾股定理可知：
AB²+CD²=（AO²+BO²）+（DO²+CO²），
AD²+BC²=（AO²+DO²）+（BO²+CO²），
∴AB²+CD²=AD²+BC²；

（3）①如图2，过点P作PD⊥AC于点D，
由题意知：AP=5t，CQ=6t，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10
∵PD∥BC．
∴△PAD∽△BAC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{AD}{6}$=$\frac{PD}{8}$=$\frac{5t}{10}$，
∴AD=3t，PD=4t，
∴DQ=AC-AD-CQ=6-9t，
∵四边形BCQP是“垂直四边形”．
∴BP²+CQ²=PQ²+BC²，
∴（10-5t）²+（6t）²=（4t）²+（6-9t）²+8²，
∴解得t=$\frac{2}{9}$或t=0（舍去），
∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为$\frac{2}{9}$；
②如图3，连接CG、BG、BE、CE，
CE与BG交于点O
由题意知：EA=BA，AC=AG
∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC
∴∠EAC=∠BAG
在△EAC与△BAG中
$\left\{\begin{array}{l}{EA=BA}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG（SAS）
∴∠CEA=∠GBA
∴∠EAB=∠BOE=90°
∴四边形BCGE是“垂直四边形”
∴BC²+EG²=BE²+CG²，
∵AB=3AC，
∴EG²=$\frac{3}{2}$BC²．

点评 本题考查新定义型问题，解题的关键是对新定义的理解，涉及到勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识内容，题目较新颖和综合，需要学生将新旧知识联系起来．