Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=$\frac{1}{2x}$经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x²+（a-1）x+$\frac{1}{2a}$=0的两个实数根；④a-b-c≥3．其中正确结论是①③④（填写序号）

Answer 1

分析 根据抛物线y=ax²+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=$\frac{1}{2x}$经过点（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解决．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=$\frac{1}{2x}$经过点（a，bc），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+b+c=1}\\{bc=\frac{1}{2a}}\end{array}\right.$
∴bc＞0，故①正确；
∴x²+（a-1）x+$\frac{1}{2a}$=0可以转化为：x²-（b+c）x+bc=0，得x=b或x=c，故③正确；
∵b，c是关于x的一元二次方程x²+（a-1）x+$\frac{1}{2a}$=0的两个实数根，
∴△=（a-1）²-4×1×$\frac{1}{2a}$≥0，
化简，得（a-2）（a²+1）≥0，
∵a²+1≥1，
∴a-2≥0，
∴a≥2，
故a≥2，即2a-1≥3，故④正确；
∵a≥2且a+b+c=1，
∴b+c＜0，故②错误；
故答案为：①③④．

点评 本题考查二次函数与图象的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．