Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=1，（AD＞AB）在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与原矩形相似，则AD的长度为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．

解答 解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{AD}{AB}$，
即：$\frac{1}{x-1}=\frac{x}{1}$，
解得x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（不合题意舍去），
经检验x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是原方程的解．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．