Question

小明和同桌小聪在课后预习时，对课本中的一道思考题，进行了认真的探索：

如图1，一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为3米．如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么点B将向外移动几米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²，即5²=AC²+3²
∴AC=

 

．
∵AA1=2，
∴A1C=

 

．
在Rt△A₁B₁C中，由勾股定理得A₁B₁²=A₁C²+B₁C²，
∴B₁C=

 

．
∴点B将向外移动

 

 米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题，请你解答：
①如图1，在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
②若某人站在梯子的正中间P处（即梯子AB的中点），试问在梯子下滑过程中，请你在备用图中画出此人移动的路程（即点P移动的轨迹），并求出这个路程．

Answer 1

考点：勾股定理的应用

专题：

分析：（1）直接把数值代入计算即可；
（2）①设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据题意列出方程，解这个方程即可；
②此人移动的路程（即点P移动的轨迹）是半径为

5

2

，与墙面和地面相切的圆的

1

4

，所以结果为

5

4

π．

解答：解：（1）由5²=AC²+3²
可知AC=

52-32

=4，
A₁C=AC-AA₁=4-2=2，
由勾股定理得A₁B₁²=A₁C²+B₁C²，
∴B₁C=

A1B12-B 1C2

=

52-22

=

21

∴点B将向外移动BB₁=

21

-3；
（2）①有可能．
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有（x+3）²+（4-x）²=5²，
解得：x₁=1或x₂=0（舍）
∴当梯子顶端从A处下滑1米时，点B向外也移动1米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．

②如图2，此人移动的路程（即点P移动的轨迹）是半径为

5

2

，与墙面和地面相切的圆的

1

4

，
即

5

4

π．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．