Question

15．如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，BE=CF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）若∠ABC=60°，BD=4，求四边形DEFC的面积．

Answer 1

分析 （1）先依据角平分线的性质和平行线的性质证明∠BDE=∠ABD，则BE=ED，故此可得到ED=FC，然后依据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行证明即可；
（2）过点B作BG⊥DE，垂足为G．由∠ABC=60°可求得∠GDB=30°，则BG=2，然后在Rt△BEG中，利用特殊锐角三角函数值可求得BE的长，从而得到ED的长，最后利用平行四边形的面积公式进行解答即可．

解答 解：（1）∵ED∥BC，
∴∠BDE=∠DBC．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠BDE=∠ABD，
∴BE=DE．
∵BE=CF，
∴DE=CF．
又∵ED∥BC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图所示：过点B作BG⊥DE，垂足为G．

由（1）可知∠EDB=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵∠ABC=60°．
∴∠EDB=30°．
又∵∠G=90°．
∴BG=$\frac{1}{2}$BD=2．
∵ED∥FC，
∴∠AED=∠ABC=60°．
∴∠GEB=60°．
∴ED=BE=BG÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴平行四边形EDCF的面积=ED•BG=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．